Komposisi Fungsi

Komposisi Fungsi

Sebelum mempelajari fungsi komposisi, mari kita amati proses pembuatan garam. Garam yang mungkin tiap hari menjadi bumbu di setiap makanan yang kita makan, menjalani beberapa proses untuk menjadi garam yang siap diolah. Dari beberapa proses pembuatan garam, kita dapat meringkasnya menjadi 2 proses yang sangat penting. Proses pertama adalah proses pengkristalan. Air laut ditampung dalam tempat tertentu untuk dipanaskan sehingga kristal-kristal garam akan terpisah dari air. Selanjutnya kristal-kristal tersebut masuk ke dalam proses pembersihan. Kristal-kristal garam yang dihasilkan pada proses pengkristalan tidak semuanya layak untuk menjadi garam, sehingga perlu dilakukan pembersihan. Setelah dilakukan pembersihan, barulah dihasilkan garam yang siap untuk didistribusikan, yaitu garam yang sering kita jumpai di swalayan ataupun dapur dari rumah kita masing-masing.


Fungsi komposisi dapat dianalogikan seperti contoh di atas. Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya bilangan real, dan g(x) = √(x – 1) dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g  f dapat digambarkan sebagai berikut.

Mula-mula x, anggota domain f, dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Kemudian f(x) dipetakan lagi oleh g ke g(f(x). Dengan demikian fungsi komposisi g  f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.

Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g ditulis g f didefinisikan sebagai (g f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota domain f.

Sebagai contoh kita ambil x = –1 anggota domain f, kita akan memperoleh f(x) = 1 yang berada dalam daerah asal fungsi g. Bayangan x = –1, yaitu f(x) = 1 dapat dipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(1) = √(1 – 1) = 0.

Lain halnya jika x = –2. Untuk x = –2 diperoleh f(–2) = –1 yang berada di luar daerah asal fungsi g. Bayangan x = –2, yaitu f(x) = –1 tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi komposisi g(f(x)) sebab g(–1) = √(–1 – 1) = √–2. Nilai ini tidak terdefinisi jika kita membatasi daerah asal pada himpunan seluruh bilangan real. Dari uraian tersebut dapat dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukan jika bayangan x jatuh pada daerah asal fungsi g. Dengan demikian, diperoleh daerah asal fungsi g  f adalah Dg f = {x | x anggota Dff(x) anggota Dg}.

Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f  g adalah pemetaan x anggota domain g oleh fungsi g, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh fungsi f. Dengan demikian daerah asal fungsi komposisi f  g adalah Df g = {x | x anggota Dgf(x) anggota Df}.

Misalkan diketahui f(x) = x2 – 3 dan g(x) = √(–4 – x). Daerah hasil dari fungsi f, yaitu Rf = {x | x ≥ –3} tidak dapat dipetakan oleh fungsi g(x) = √(–4 – x) sebab untuk x > –4 fungsi g tidak terdefinisi. Mengapa demikian?

Dari dua contoh fungsi komposisi di atas, diperoleh hal-hal berikut:

  • Fungsi f(x) = 2x + 3 dan g(x) = √(x – 1) dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g  f sebab irisan daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakan himpunan kosong.
  • Fungsi f(x) = x2 – 3 dan g(x) = √(–4 – x) tidak dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g  f sebab irisan daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g merupakan himpunan kosong.

Dari dua hal di atas, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g f adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.

Untuk lebih memahami mengenai fungsi komposisi, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Diberikan f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = 4x – 1. Tentukan rumus fungsi f  g dan tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi komposisi tersebut!

Diketahui f(x) = x2 + 2x + 1, g(x) = 4x – 1 maka:
(f 
 g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 + 2g(x) + 1 = (4x – 1)2 + 2(4x – 1) + 1 = 16x2

Sehingga daerah asal dari fungsi komposisi f  g adalah himpunan bilangan real. Sedangkan daerah hasil dari fungsi komposisi tersebut adalah himpunan bilangan real non-negatif.

Sumber